Question

已知函数f（x）是定义在[-4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）是定义在[-4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，可得cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4，即cosx-sin²x≥b²-b-3且sin²x≥b-1，从而可求实数b的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在[-4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f（cosx-b²）≥f（sin²x-b-3）恒成立，
∴cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4，
∴cosx-sin²x≥b²-b-3且sin²x≥b-1，
∵cosx-sin²x=（cosx+

1

2

）²-

5

4

∈[-

5

4

，1]，sin²x∈[0，1]，
∴b²-b-3≤-

5

4

且b-1≤0，
∴实数b的取值范围是[

1

2

-

2

，1]．
故答案为：[

1

2

-

2

，1]．

点评：本题考查函数单调性的性质，考查解不等式，转化为cosx-b²≥sin²x-b-3≥-4是关键．