Question

6．小明在数学课中学习了《解三角形》的内容后，欲测量河对岸的一个铁塔高AB（如图所示），他选择与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，测得∠BCD=60°，∠BDC=45°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为θ=30°．求：
（1）sin∠DBC；
（2）塔高AB（结果精确到0.01）（参考数据：$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 （1）根据和角公式计算；
（2）在△BCD中利用正弦定理计算BC，再在Rt△ABC中计算AB．

解答 解：（1）由题意可知∠DBC=180°-60°-45°=75°，
∴sin∠DBC=sin75°=sin（45°+30°）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$．
（2）在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，
即$\frac{30}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得BC=（30$\sqrt{3}$-30）米．
在Rt△ABC中，∵tanθ=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=30-10$\sqrt{3}$≈12.7米．

点评 本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于基础题．