Question

【题目】在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】答案见解析

【解析】试题分析：

由题意结合定积分的几何意义可求得，结合定义域讨论函数的单调性可得当时，S1与S2之和取得最小值，且最小值为.

试题解析：

S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.

S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t面积，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.

所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)．

令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.

t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.

所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.