Question

3．已知定点A（-1，1），动点P在抛物线C：y²=-8x上，F为抛物线C的焦点．
（1）求|PA|+|PF|最小值；
（2）求以A为中点的弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|取得最小值；
（2）利用点差法，求斜率，即可求以A为中点的弦所在的直线方程．

解答 解：（1）设抛物线C的准线为l，所以l的方程为x=2，
设P到准线的距离为d，垂足为E．由抛物线的定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，
当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|最小值为3．-----（4分）
（2）设以A为中点的弦所在的直线交抛物线C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，
所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2，
又因为M，N在抛物线C上，
则有y₁²=-8x₁，y₂²=-8x₂，做差化简得 k_MN=-4------（8分）
又直线MN过点A（-1，1），所以有y-1=-4（x+1），
即以A为中点的弦所在的直线方程为4x+y+3=0．------------（12分）

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当A，P，E三点共线时最小，|PA|+|PF|取得最小值，是解题的关键．