题目内容
已知正项数列{an}，其前n项和Sn，满足6Sn=
+3an+2，又a1，a2，a6是等比数列{bn}的前三项．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=a1bn+a2bn-1+…+anb1，n∈N+，证明3Tn+1=2bn+1-an+1（n∈N+）．
| a | 2 n |
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（2）记Tn=a1bn+a2bn-1+…+anb1，n∈N+，证明3Tn+1=2bn+1-an+1（n∈N+）．
考点：数列的求和,数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）根据等比数列的通项公式，求出首项和公比，即可求出相应的通项公式．
（2）利用错位相减法求出Tn，即得到得到结论．
（2）利用错位相减法求出Tn，即得到得到结论．
解答：
解：（1）∵6Sn=
+3an+2，①
∴6a1=
+3a1+2，解得a1=1或a1=2．
又6Sn-1=
+3an-1+2（n≥2），②
由①-②，得6an=（
-
）+3（an-an-1），
即（an+an-1）（an-an-1-3）=0．
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=3（n≥2）．
当a1=2时，a2=5，a6=17，此时a1，a2，a6不成等比数列，∴a1≠2；∴an=3n-2，bn=4n-1．
（2）由（1）得Tn=1×4n-1+4×4n-2+…+（3n-5）×41+（3n-2）×40，③
∴4Tn=1×4n+4×4n-1+7×4n-2+…+（3n-2）×41．④
由④-③得3Tn=4n+3×（4n-1+4n-2+…+41）-（3n-2）=4n+
-（3n-2）
=2×4n-（3n+1）-1=2bn+1-an+1-1，
∴3Tn+1=2bn+1-an+1，n∈N+．
| a | 2 n |
∴6a1=
| a | 2 1 |
又6Sn-1=
| a | 2 n-1 |
由①-②，得6an=（
| a | 2 n |
| a | 2 n-1 |
即（an+an-1）（an-an-1-3）=0．
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=3（n≥2）．
当a1=2时，a2=5，a6=17，此时a1，a2，a6不成等比数列，∴a1≠2；∴an=3n-2，bn=4n-1．
（2）由（1）得Tn=1×4n-1+4×4n-2+…+（3n-5）×41+（3n-2）×40，③
∴4Tn=1×4n+4×4n-1+7×4n-2+…+（3n-2）×41．④
由④-③得3Tn=4n+3×（4n-1+4n-2+…+41）-（3n-2）=4n+
| 12×(1-4n-1) |
| 1-4 |
=2×4n-（3n+1）-1=2bn+1-an+1-1，
∴3Tn+1=2bn+1-an+1，n∈N+．
点评：本题主要考查数列通项公式和前n项和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
练习册系列答案
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已知双曲线
-
=1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且倾斜角为60°的直线与双曲线右支交于A，B两点，若△ABF1为等腰三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、
| ||||||||
B、
| ||||||||
C、
| ||||||||
| D、其它 |