Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=na_n-2n（n-1），a₁=1，数列{b_n}的前n项和为T_n，其中b_n=

1

a nan+1

，（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n，
（Ⅱ）若对于任意n∈N^*，T_n≥m²-m-

9

5

，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用公式a_n+1=S_n+1-S_n，求得通项公式；
（Ⅱ）利用裂项相消法求得数列的和，得出其最小值，则对于任意n∈N^*，T_n≥m²-m-

9

5

等价于（T_n）_min≥m²-m-

9

5

，即可得出结论．

解答： 解：（I）由S_n=na_n-2n（n-1），
得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，即a_n+1-a_n=4，---------------------------（4分）
∴数列{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，-----------------------------------（5分）
∴a_n=4n-3；-----------------------------------------------------（6分）
（II）∵b_n=

1

a nan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

（

1

4n-3

-

1

4n+1

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

4

（1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…+

1

4n-3

-

1

4n+1

）=

1

4

（1-

1

4n+1

），
又易知单调递增，故T_n≥T₁=

1

5

，-----------------（10分）
又对于任意对于任意n∈N^*，T_n≥m²-m-

9

5

，
∴m²-m-

9

5

≤

1

5

，------------------（11分）
∴m²-m-2≤0，∴-1≤m≤2．-------------------------------------------（12分）

点评：本题主要考查数列通项公式的求法及利用裂项法求数列和，考查恒成立问题的等价转化思想及学生的运算求解能力，属难题．