Question

设

a

=(

3

sinx，cosx)，

b

=(cosx，cosx)，记f(x)=

a

•

b

．
（1）写出函数f（x）的最小正周期；
（2）试用“五点法”画出函数f（x）在区间[-

π

12

，

11π

12

]的简图，并指出该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
（3）若x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，试求出函数g（x）的最大值并指出x取何值时，函数g（x）取得最大值．

Answer 1

分析：（1）先利用向量数量积的坐标运算写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，最后由周期公式即可得f（x）的最小正周期
（2）由（1）f（x）=sin(2x+

π

6

)+

1

2

，利用五点法，即将2x+

π

6

看成整体取正弦函数的五个关键点，通过列表、描点、连线画出函数图象，用图象变换的方法得此函数图象，可以先向左平移，再横向伸缩，再向上平移的顺序进行
（3）g(x)=f(x)+m=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，x∈[-

π

6

，

π

3

]，求此函数的最值可先将2x+

π

6

看成整体，求正弦函数的值域，最后利用函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，解方程可得m的值，进而求出函数最大值

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin(2x+

π

6

)+

1

2

∴T=

2π

|ω|

=π
（2）

x	- π 12	2π 12	5π 12	8π 12	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x+ π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	1 2	3 2	1 2	- 1 2	1 2

y=sinx向左平移

π

6

得到y=sin(x+

π

6

)，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原为的

1

2

变为y=sin(2x+

π

6

)最后再向上平移

1

2

个单位得到y=sin(2x+

π

6

)+

1

2

（3）g(x)=f(x)+m=sin(2x+

π

6

)+

1

2

+m，
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴g(x)∈[m，

3

2

+m]，
∴m=2，
∴gmax(x)=

3

2

+m=

7

2

当2x+

π

6

=

π

2

即x=

π

3

时g（x）最大，最大值为

7

2

．

点评：本题综合考察了三角变换公式的运用，三角函数的图象画法，三角函数图象变换，及复合三角函数值域的求法．