Question

设

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），记f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[-

π

6

，

π

3

]时，函数g（x）=f（x）+m的最小值为2，求函数g（x）的最大值并指出此时x的取值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式，辅助角公式，化简函数，从而可求出函数的周期；
（2）根据x∈[-

π

6

，

π

3

]求出函数g（x）的值域，根据g（x）=f（x）+m的最小值为2求出m的值，从而可求出函数g（x）的最大值，求出相应的x即可．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx），f（x）=

a

•

b

．
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+cos²x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π
（2）由（1）可知g（x）=f（x）+m=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]则g（x）=f（x）+m=sin（2x+

π

6

）+

1

2

+m的取值范围为[m，

3

2

+m]
而函数g（x）=f（x）+m的最小值为2
∴m=2，函数g（x）的最大值为

7

2

此时x的取值为x=

π

6

点评：本题主要考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查函数的单调性与最值，正确化简函数是关键，属于中档题．