Question

设x∈R，向量

a

=(

3

sinx，

2

sinx)，

b

=(2cosx，

2

sinx)，函数f(x)=

a

•

b

-1．
（Ⅰ）在区间（0，π）内，求f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若f（θ）=1，其中0＜θ＜

π

2

，求cos(θ+

π

3

)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件可得函数f（x）=2sin（2x-

π

6

），令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范围，再根据x∈（0，π），可确定f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由 f（θ）=1，其中0＜θ＜

π

2

，求得sin（2θ-

π

6

）=

1

2

，θ=

π

6

，再代入要求的式子化简得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由条件可得函数f(x)=

a

•

b

-1=2

3

sinx•cosx+2sin²x-1=

3

sin2x+1-cos2x-1
=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

），
令 2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

3

，k∈z．
再由x∈（0，π），可得 f（x）的单调递减区间（

π

3

，

5π

3

），k∈z．
（Ⅱ）∵f（θ）=1，其中0＜θ＜

π

2

，
∴2sin（2θ-

π

6

）=1，sin（2θ-

π

6

）=

1

2

，
故2θ-

π

6

=

π

6

，θ=

π

6

．
∴cos(θ+

π

3

)=cos（

π

6

+

π

3

）=cos

π

2

=0．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，两个向量数量积公式的应用，属于中档题．