Question

设

a

=(

3

sinx，cosx) ， 

b

=(cosx，-cosx)，定义f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角公式化简函数f（x）=sin(2x-

π

6

) -

1

2

，求出其最小正周期．
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，得到sin(2x-

π

6

) -

1

2

的范围，即得函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=

a

•

b

=

3

sinxcosx-cos²x=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

=sin(2x-

π

6

) -

1

2

，
∴周期T=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]， 2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，∴sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴sin(2x-

π

6

)-

1

2

 ∈[-1，

1

2

]，∴f（x）的值域为 [-1，

1

2

]．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，三角公式的应用，根据角的范围求出三角函数的值域，由角的范围求出正弦函数的值域
是解题的难点．