Question

4．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（$\sqrt{2}$，1），且焦距为2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A、B，定点P的坐标为（$\frac{1}{4}$，0），证明：$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$是常数．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率公式求得a²=b²+2，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；
（2）将直线代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$是常数．

解答 解：（1）由题意可知：2c=2$\sqrt{2}$，则c=$\sqrt{2}$，则a²=b²+2，
将（$\sqrt{2}$，1），代入椭圆方程可得：$\frac{2}{{b}^{2}+2}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=2，则a²=4，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）证明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
由$\overrightarrow{PA}$=（x₁-$\frac{1}{4}$，y₁），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-$\frac{1}{4}$，y₂），
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$=（x₁-$\frac{1}{4}$）（x₂-$\frac{1}{4}$）+y₁y₂+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$，
=（x₁-$\frac{1}{4}$）（x₂-$\frac{1}{4}$）+k²（x₁+1）（x₁+1）+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$，
=（1+k²）x₁x₂+（k²-$\frac{1}{4}$）（x₁+x₂）+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$+k²+$\frac{1}{16}$，
=（1+k²）×$\frac{2{k}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$+（k²-$\frac{1}{4}$）（-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$）+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$+k²+$\frac{1}{16}$，
=$\frac{1}{16}$，
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$+$\frac{4}{2{k}^{2}+1}$是常数．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．