Question

7．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+a）^{2}，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}+a，x＞0}\end{array}\right.$，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）

• A． [-1，0]
• B． [-1，2]
• C． [1，2]
• D． [0，2]

Answer 1

分析 由分段函数可得当x=0时，f（0）=a²，由于f（0）是f（x）的最小值，则（-∞，0]为减区间，即有a≤0，则有a²≤x+$\frac{1}{x}$+a，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a²≤2+a，即可得到a的取值范围．

解答 解：由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+a）^{2}，x≤0}\\{x+\frac{1}{x}+a，x＞0}\end{array}\right.$，
则当x=0时，f（0）=a²，
由于f（0）是f（x）的最小值，
则（-∞，0]为减区间，即有a≤0，
则有a²≤x+$\frac{1}{x}$+a，x＞0恒成立，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1取最小值2，
则a²≤2+a，解得-1≤a≤2．
综上，a的取值范围为[-1，0]．
故选：A．

点评 本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题．