Question

6．从抛物线y²=4x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，A，B为切点，若直线AB的倾斜角为$\frac{π}{3}$，则P点的纵坐标为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用直线AB的倾斜角为$\frac{π}{3}$，可得y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．求出即切线PA的方程为y=$\frac{2}{{y}_{1}}$x+$\frac{1}{2}$y₁，切线PB的方程为y=$\frac{2}{{y}_{2}}$x+$\frac{1}{2}$y₂，y₁、y₂是方程t²-2yt+4x=0两个根，利用韦达定理，可得结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-1，y），则k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵直线AB的倾斜角为$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
切线PA的方程为y-y₁=$\frac{2}{{y}_{1}}$（x-x₁），切线PB的方程为y-y₂=$\frac{2}{{y}_{2}}$（x-x₂），
即切线PA的方程为y=$\frac{2}{{y}_{1}}$x+$\frac{1}{2}$y₁，切线PB的方程为y=$\frac{2}{{y}_{2}}$x+$\frac{1}{2}$y₂．
∴y₁、y₂是方程t²-2yt+4x=0两个根，
∴y₁+y₂=2y=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．