Question

20．已知双曲线C₁：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为x+2y=0，且点（2，$\sqrt{2}$）在双曲线C₁上．
（1）求双曲线C₁的标准方程；
（2）设抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F是双曲线C₁的一个顶点，过点P（0，t）（t＞0）任意作一条直线交抛物线于两点A，B，直线AF，BF与抛物线的另一交点分别为M，N．若直线MN的斜率为k₁，直线AB的斜率为k₂．问：是否存在实数t，使得k₁=2k₂恒成立？若存在，求t的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据渐近线方程求得b=2a，将点（2，$\sqrt{2}$）代入抛物线方程，即可求得a和b的值，即可求得双曲线C₁的标准方程；
（2）由（1）求得抛物线方程，设直线AB的方程为：y=k₁x+t，直线AF的方程为y=nx+1，代入抛物线方程，由韦达定理，直线的斜率公式k₁=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{t}$k₂．

解答 解：（1）由题意可知：双曲线焦点在x轴上，渐近线方程y=±$\frac{a}{b}$x，则$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，b=2a，
将点（2，$\sqrt{2}$）代入双曲线方程：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{4{a}^{2}}=1$，即可求得a=1，则b=2，
∴双曲线方程为：${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$；
（2）存在实数t，使得k₁=2k₂，由（1）可知，抛物线方程C₂的焦点F（0，1），则方程为x²=4y，
由题意可知：设直线AB的方程为：y=k₁x+t，
$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{2}x+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y，x²-4k₂x-4t=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=4k₂，x₁x₂=-4t，
设直线AF，BF分别于抛物线交于M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
则k₁=$\frac{{y}_{3}-{y}_{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{\frac{{x}_{3}^{2}}{4}-\frac{{x}_{4}^{2}}{4}}{{x}_{3}-{x}_{4}}$=$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$，
设直线AF的方程为y=nx+1，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=nk+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y，整理得：x²-4nx-4=0．，则x₁x₃=-4，
同理可得：x₂x₄=-4，
故k₁=$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$=-$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{t}$k₂，
∴存在实数t=$\frac{1}{2}$，使得k₁=2k₂恒成立．

点评 本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查计算能力，属于中档题．