Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2$\sqrt{3}$，PD=CD=2，则二面角A-PB-C的正切值为$\frac{\sqrt{15}}{9}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的正切值．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂直线为z轴，建立空间直角坐标系，
在△PDC中，由于PD=CD=2，PC=2$\sqrt{3}$，可得∠PCD=30°，
∴P到平面ABCD的距离为PCsin30°=$\sqrt{3}$．
∴A（1，0，0），P（0，-1，$\sqrt{3}$），B（1，2，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（1，3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x+3y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=a+b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=3b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（2，1，$\sqrt{3}$），
设二面角A-PB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{8}}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{6}}{8}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{15}}{9}$．
∴二面角A-PB-C的正切值为$\frac{\sqrt{15}}{9}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{9}$．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．