Question

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧(左)视图、俯视图，侧(左)视图是底边长分别为2和4的直角梯形，俯视图是直角边长为2的等腰直角三角形．

（Ⅰ）求出该几何体的体积；

（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BCD；

（Ⅲ）求直线CE与平面BDE的夹角正弦值．

 

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知，四棱锥B－ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB ，又AB⊥AC，

且AE和AC相交，所以，AB⊥平面ACDE，又AC＝AB＝AE＝2，CD＝4，则四棱锥B－ACDE的体积为

．

（Ⅱ）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

           …

设平面BDE和平面BCD的法向量分别为

，取  

，取        

，∴平面BDE⊥平面BCD          

（Ⅲ），           

直线CE与平面BDE的夹角正弦值为