题目内容
已知a、b都是非零向量，若a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.
思路分析：欲求a与b的夹角，即找a、b的长度与a·b的关系.结合已知的两组向量分别垂直，展开化简看能得到什么结论.
解：∵(a+3b)⊥(7a-5b),
即(a+3b)·(7a-5b)=0.
展开整理得7a2-15b2+16a·b=0.①
同理，(a-4b)⊥(7a-2b),
即(a-4b)·(7a-2b)=0.
∴7a2+8b2-30a·b=0.②
由①②式消去a·b，得105a2-225b2+56a2+64b2=0,
∴|a|=|b|.
代入②式并化简得|a|2=2a·b.
设a与b的夹角为θ，
∴cosθ=
=
=
.
则θ=
.
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