题目内容
已知
、
都是非零向量，且
+3
与7
-5
垂直，
-4
与7
-2
垂直，求
与
的夹角．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：根据互相垂直的两个向量数量积为零，得（
+3
）•（7
-5
）=0且（
-4
）•（7
-2
）=0．由此结合数量积的运算性质，化简整理得|
|=|
|且2
•
=
2，再运用向量夹角公式，得到
、
的夹角余弦值，即得
与
的夹角大小．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：解：由题意，得
（
+3
）•（7
-5
）=0且（
-4
）•（7
-2
）=0，
即7
2+16
•
-15
2=0…①，
7
2-30
•
+8
2=0…②
①-②得2
•
=
2，代入①式得
2=
2，|
|=|
|
∴cosθ=
=
=
，
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=60°
即
与
的夹角为60°．
（
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
即7
| a |
| a |
| b |
| b |
7
| a |
| a |
| b |
| b |
①-②得2
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴cosθ=
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| 1 |
| 2 |
∵θ∈[0°，180°]，∴θ=60°
即
| a |
| b |
点评：本题给出关于向量
、
的几个线性组合，在已知两对向量互相垂直的情况下求向量
与
的夹角大小．着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于基础题．
| a |
| b |
| a |
| b |
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