Question

19．已知函数f（x）=|x-a²-a|，不等式f（x）≥$\frac{3}{2}$的解集为{x|x≤$\frac{1}{2}$或x≥$\frac{7}{2}$}．
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）+f（x+2）≥m²-m对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意，|$\frac{1}{2}$-a²-a|=$\frac{3}{2}$，|$\frac{7}{2}$-a²-a|=$\frac{3}{2}$，即可求实数a的值；
（2）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）+f（x+2）的最小值，再由不等式恒成立思想，解二次不等式，即可得到m的范围．

解答 解：（1）由题意，|$\frac{1}{2}$-a²-a|=$\frac{3}{2}$，|$\frac{7}{2}$-a²-a|=$\frac{3}{2}$，
∴a²+a-2=0，∴a=-2或1；
（2）f（x）+f（x+2）=|x-2|+|x|≥|（x-2）-x|=2，
当且仅当0≤x≤2时，等号成立．
由恒成立思想可得，m²-m≤2，解得-1≤m≤2，
则实数m的取值范围是[-1，2]；

点评 本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立思想，属于中档题．