Question

设p：函数y=log_a（x+1）（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上单调递减； q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：先根据对数函数的单调性，和二次函数图象和x轴交点的情况与判别式的关系即可求出命题p，q下的a的取值范围．根据p∧q为假，p∨q为真即可判断p，q的真假情况，根据p，q的真假情况即可求出a的取值范围．

解答： 解：p：∵函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）上单调递减；
∴0＜a＜1；
q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点；
∴△=（2a-3）²-4＞0，解得a＜

1

2

，或a＞

5

2

；
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假；
若p真q假，则：0＜a＜1，且

1

2

≤a≤

5

2

，∴

1

2

≤a＜1；
若p假q真，则：a＞1，且a＜

1

2

，或a＞

5

2

，∴a＞

5

2

；
∴实数a的取值范围为[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)．

点评：考查对数函数的单调性，二次函数图象和x轴交点的情况与判别式△的关系，p∧q，p∨q的真假和p，q真假的关系．