Question

【题目】已知矩形EFMN，，，以EF的中点O为原点，建立如图的平面直角坐标系，若椭圆以E，F为焦点，且经过M，N两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与相交于A，B两点，在y轴上是否存在点C，使得△ABC为正三角形，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或

【解析】

(1)根据椭圆的定义求解标准方程即可.

(2)先假设轴上存在点使得为等边三角形,设中点为,再根据几何关系可知,再联立直线与椭圆方程,利用弦长公式等列式计算即可.

(1)设椭圆的方程为,,

则根据题意有,由椭圆的定义有,

,故,所以.

故椭圆的方程为.

(2) 假设轴上存在点使得为等边三角形,设.

中点为,则,.

联立 ,整理得.

则,解得.

由韦达定理得,,

故,

又,,即,则直线的方程为,令,可得,即.

又因为,故,

即 .解得,满足.

故轴上存在点使得为等边三角形,此时或