Question

【题目】已知函数，其中为常数．

（Ⅰ）若的图像在处的切线经过点（3,4），求的值；

（Ⅱ）若，求证： ；

（Ⅲ）当函数存在三个不同的零点时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）详见解析；（3） .

【解析】试题分析：(1)根据导数的几何意义可得：，再结合斜率公式进而得出的值；(2)表示出，然后构造函数通过讨论函数的单调性证明；(3)将函数零点的问题转化为函数图像与轴交点个数的问题，通过导数讨论函数的单调性来解决.

试题解析：由题知

（Ⅰ） 2分

4分

（Ⅱ），令，

则7分

∴时， 单调递减，

故时， ，

∴当时， 9分

（Ⅲ）

①

∴至多只有一个零点，不合题意； 10分

②

∴至多只有一个零点，不合题意； 11分

③

此时， 在上递减， 上递增， 上递减，所以， 至多有三个零点.因为在递增，所以，又因为，所以，使得，又，所以恰有三个不同零点： ，所以函数存在三个不同的零点时， 的取值范围是. 14分