Question

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=120°，PA⊥平面ABCD，M，N分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥平面PAD；
（Ⅱ）若H为∠ADH=45°上的动点，PA=2与平面PA⊥所成最大角的正切值为

6

2

，求二面角M-AN-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AM⊥BC，AM⊥AD，由线面垂直得PA⊥AM，由此能证明AM⊥平面PAD．
（Ⅱ）设H为PD上任意一点，连接AH、MH，由AM⊥平面PAD，得∠MHA为MH与平面PAD所成的角，过M作MS⊥AN于S，连接OS，由已知条件得∠MSO为二面角M-AN-C的平面角，由此能求出二面角M-AN-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
可得∠ABC=60°，△ABC为正三角形．
因为M为BC的中点，所以AM⊥BC．…（2分）
又BC∥AD，因此AM⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AM?平面ABCD，所以PA⊥AM．…（4分）
而PA∩AD=A，所以AM⊥平面PAD．…（5分）
（Ⅱ）解：设H为PD上任意一点，连接AH、MH
由（Ⅰ）知：AM⊥平面PAD．
则∠MHA为MH与平面PAD所成的角．…（7分）
在Rt△MAH中，AM=

3

，
所以当AH最短时，∠MHA最大，…（8分）
即当AH⊥PD时，∠MHA最大，
此时tan∠MHA=

AM

AH

=

3

AH

=

6

2

．
因此AH=

2

．又AD=2，
所以∠ADH=45°，于是PA=2．…（10分）
因为PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．
过M作MO⊥AC于O，则由面面垂直的性质定理可知：MO⊥平面PAC，
所以MO⊥AN，过M作MS⊥AN于S，连接OS，AN⊥平面MSO，
所以AN⊥SO，则∠MSO为二面角M-AN-C的平面角．…（12分）
在Rt△AOM中，OM=AMsin30°=

3

2

，OA=AMcos30°=

3

2

又N是PC的中点，PA=AC，∴AN⊥PC且AN=NC
在Rt△ASO中，SO=AOsin45°=

3 2

4

，
又SM=

MO2+SO2

=

30

4

…（13分）
在Rt△MSO中，cosMSO=

SO

SM

=

15

5

即二面角M-AN-C的余弦值为

15

5

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．