Question

2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，它在点$M（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$处的切线为直线l．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）已知点P为椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}$=1上一点，求点P到直线l的距离的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标方程与普通方程的互化求解即可．
（2）设出椭圆的参数方程，利用点到直线的距离公式化简求解即可．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=2sinθ，
∴ρ²cos²θ=2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y=$\frac{1}{2}$x²，
∴y′=x，又M（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）的直角坐标为（2，2），
∴曲线C在点（2，2）处的切线方程为y-2=2（x-2），
即直线l的直角坐标方程为：2x-y-2=0． …（5分）
（2）P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上一点，设P（$\sqrt{3}$cosα，2sinα），
则P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosα-2sinα-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|4sin（α-\frac{π}{3}）+2|}{\sqrt{5}}$，
当sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$时，d有最小值0．
当sin（α-$\frac{π}{3}$）=1时，d有最大值$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∴P到直线l的距离的取值范围为：[0，$\frac{6\sqrt{5}}{5}$]．…（10分）

点评 本题考查椭圆的参数方程，极坐标方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．