Question

11．设S_n是数列{a_n}的前n项和，若a₁=1且a_n=2S_n-1（n≥2）．
（1）求证{S_n}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把a_n=S_n-S_n-1（n≥2）代入a_n=2S_n-1（n≥2），整理得到$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}=3$，又S₁=a₁≠0，可得数列{S_n}是以S₁=a₁=1为首项，以3为公比的等比数列；
（2）由（1）求出S_n，结合a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得数列{a_n}的通项公式．

解答 （1）证明：∵a_n=2S_n-1（n≥2），∴S_n-S_n-1=2S_n-1，则$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}=3$，
又S₁=a₁≠0，∴数列{S_n}是以S₁=a₁=1为首项，以3为公比的等比数列；
（2）解：由（1）知${S}_{n}={3}^{n-1}$，故当n≥2时，${a}_{n}=2{S}_{n-1}=2•{3}^{n-2}$．
∵当n=1时，a₁=1不适合上式，
∴数列{a_n}的通项公式为${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了由数列的前n项和求通项公式，是中档题．