Question

（本小题满分12分）已知椭圆C：（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．

①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

②当最小时，求点T的坐标．

Answer 1

（1）；（2）①见解析；②（－3，1）或（－3，－1）．

【解析】

试题分析：（1）由已知可得：，解得 ，

∴椭圆C的标准方程为：．

（2）①证明：由（1）可得，F的坐标为（－2，0），设T点的坐标为（－3，m），

则直线TF的斜率．

当m≠0时，直线PQ的斜率．直线PQ的方程是x＝my－2．

当m＝0时，直线PQ的方程是x ＝－2，也符合x＝my－2的形式．

设P（），Q（），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得，

消去x可得：，其判别式，

∴，

设M为PQ中点，则M点的坐标为，∴直线OM的斜率为，又直线OT的斜率，∴点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ．

②由①可得，，

，

∴．

当且仅当，即m＝±1，等号成立，此时取得最小值．

故当最小时，T点的坐标是（－3，1）或（－3，－1）．

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式

点评：利用椭圆的几何性质，求椭圆的标准方程，解决直线与椭圆的位置关系，常应用设而不求的思路解决