题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈Z）为偶函数，对于任意x∈R，f（x）≤1恒成立，且f（1）=0，则f（x）的表达式为 ．
考点：函数解析式的求解及常用方法
专题：函数的性质及应用
分析：根据题意，结合二次函数的图象与性质，求出a、b、c的值即可．
解答：
解：∵二次函数f（x）=ax2+bx+c（a∈Z）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即ax2-bx+c=ax2+bx+c，
∴b=0；
又∵对任意x∈R，f（x）≤1恒成立，
∴a＜0，且c=1；
又∵f（1）=0，
∴a+c=0，
∴a=-1；
∴f（x）=-x2+1．
故答案为：f（x）=-x2+1．
∴f（-x）=f（x），
即ax2-bx+c=ax2+bx+c，
∴b=0；
又∵对任意x∈R，f（x）≤1恒成立，
∴a＜0，且c=1；
又∵f（1）=0，
∴a+c=0，
∴a=-1；
∴f（x）=-x2+1．
故答案为：f（x）=-x2+1．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题的关键是求出系数a、b、c的值，是基础题．
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