题目内容
是否存在过点P（4，0）的直线与圆C：x2+y2=4交于A，B两点，使以A，B为直径的圆恰好过原点，若存在，求出直线的方程．若不存在，说明理由．
考点：直线与圆的位置关系
专题：直线与圆
分析：存在，分两种情况考虑：当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，显然不成立；当直线斜率存在时，设为y=kx-4k，与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2，根据题意得到原点到直线的距离等于弦长的一半，求出k的值，即可确定出直线方程．
解答：
解：存在，分两种情况考虑：
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，显然不成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-4）=kx-4k，
联立得：
，
消去y得：（1+k2）x2-8k2x+16k2-4=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
根据题意得：原点到直线的距离等于弦长的一半，
∵|AB|=
|x1-x2|=
•
=
，d=
=
，
∴d=
|AB|，即
=
×
，
整理得：64k2=16-48k2，
解得：k=±1，
则直线方程为y=x-4或y=-x+4．
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=4，显然不成立；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-4）=kx-4k，
联立得：
|
消去y得：（1+k2）x2-8k2x+16k2-4=0，
∴x1+x2=
| 8k2 |
| 1+k2 |
| 16k2-4 |
| 1+k2 |
根据题意得：原点到直线的距离等于弦长的一半，
∵|AB|=
| k2+1 |
| k2+1 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
|
| |4k| | ||
|
|
∴d=
| 1 |
| 2 |
|
| 1 |
| 2 |
|
整理得：64k2=16-48k2，
解得：k=±1，
则直线方程为y=x-4或y=-x+4．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，根据题意得到原点到直线的距离等于弦长的一半是解本题的关键．
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