Question

已知e是自然对数的底数，函数f（x）=

ax2

ex

（a∈R，且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞0时，函数f（x）的极大值为

1

e

，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当a＞0时，根据函数f（x）的极大值为

1

e

，建立方程关系，即可求a的值．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为R．求导得f′(x)=

a(2x-x2)

ex

，
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得0＜x＜2，此时函数f（x）的单调递增区间为（0，2）；
当a＜0时，令f′（x）＞0，解得x＜0或x＞2，此时函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，
在（0，2）上单调递增，
于是当x=2时，函数f（x）取到极大值，极大值为

4a

e2

=

1

e

，
故a的值为

e

4

．

点评：本题主要考查函数单调性和极值和导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．