Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆C： (a>b>0)的离心率为，右焦点F到右准线的距离为3.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点F作直线l (不与x 轴重合)和椭圆C交于M， N两点，设点.

①若的面积为，求直线l方程；

②过点M作与)轴垂直的直线l"和直线NA交于点P，求证：点P在一条定直线上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②见解析

【解析】

（1）由椭圆离心率的定义，右焦点与右准线的距离求得椭圆方程；

（2）用设而不求的求直线方程，用三角形面积得直线方程，分类讨论可得．

解：

（1）由题意：解得：，所以椭圆的方程为

（2）①当直线l斜率不存在时，方程为，此时，不合题意;

当直线斜率存在时，设方程为.

由，消去y得：.设.

由题意，， 且

所以

因为， 的面积为

所以，即，解得，

所以直线的方程为.

②当直线的斜率不存在时，直线NA的方程为：.令，得，

所以直线与的交点坐标．

当直线的斜率存在时，由①知，

由直线的方程为：

令，得

所以直线与的交点的坐标为，

综上所述，点在一条定直线上，