题目内容
【题目】设抛物线C：
的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
(1)若
，求线段
中点M的轨迹方程；
(2)若直线AB的方向向量为
，当焦点为
时，求
的面积；
(3)若M是抛物线C准线上的点，求证：直线
的斜率成等差数列．
【答案】(1)
；(2)
(3)见解析
【解析】
试题
思路(1) 利用“代入法”。
(2) 联立方程组
得，
，应用弦长公式求
，得到面积。
(3)直线
的斜率都存在，分别设为
．
点
的坐标为
．
设直线AB：
，代入抛物线得
， 确定
，
，得到
．
解：(1) 设
，
，焦点
，则由题意
，即
所求的轨迹方程为
，即
(2)
，
，直线
，
由得，，
，
。
(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．
点的坐标为．
设直线AB：，代入抛物线得， 所以
，
又
，
，
因而
，
因而
而，故．
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【题目】某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕，然后以每个120元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.
（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，，求当天的利润
（单位：元）关于当天需求量
（单位：个，
）的函数解析式；
（2）烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位：个），整理得下表：
日需求量 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕，
表示当天的利润（单位：元），求的分布列与数学期望及方差；
②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑，你认为应加工16个还是17个？请说明理由.
