Question

【题目】在直角坐标系中，圆：，圆：.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆，的极坐标方程；

（2）设，分别为，上的点，若为等边三角形，求.

Answer 1

【答案】（1）C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ（2）．

【解析】

（1）由直角坐标方程与极坐标方程的互化即可求解；（2）设A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜，由ρA＝2cosθ=ρB＝－4cos(θ＋)，得tanθ，则可求ρA

（1）依题意可得，圆C1：(x－1)2＋y2＝1；圆C2：(x＋2)2＋y2＝4．

所以C1：x2＋y2＝2x；C2：x2＋y2＝－4x，

因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ，

所以C1：ρ＝2cosθ；C2：ρ＝－4cosθ．

（2）因为C1，C2都关于x轴对称，△OAB为等边三角形，

所以不妨设A(ρA，θ)，B(ρB，θ＋)，0＜θ＜．

依题意可得，ρA＝2cosθ，ρB＝－4cos(θ＋)．

从而2cosθ＝－4cos(θ＋)，

整理得，2cosθ＝sinθ，所以tanθ＝，

又因为0＜θ＜，所以cosθ＝，

|AB|＝|OA|＝ρA＝．