Question

【题目】已知正方体的棱长为2，为体对角线上的一点，且，现有以下判断：①；②若平面，则；③周长的最小值是；④若为钝角三角形，则的取值范围为，其中正确判断的序号为______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

利用线面垂直证明线线垂直，由此判断①正确.在直角三角形中，利用射影定理求得，由此判断②正确.将和展开成平面，由此求得的最小值，进而求得三角形周长的最小值，由此判断③错误.先求得为直角三角形时的值，由此确定的取值范围

在正方体中，平面，又平面，故，①正确；

由平面，在中，,由于，由射影定理得,即，,可得，故②正确；

将和展开，可得的最小值为，又，故③错误；

利用平面，可得当为直角三角形时，，故当为钝角三角形时，的取值范围为，④正确.

所以正确判断为①②④.

故答案为：①②④