题目内容
16．数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}中，bn=a1•a2•a3•…•an，数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2．
分析 （1）对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，可得2Sn=${a}_{n}+{a}_{n}^{2}$，利用递推关系化为：化为（an+an-1）（an-an-1-1）=0，由于数列{an}的各项均为正数，可得an-an-1-1=0，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）bn=a1•a2•a3•…•an=n!．可得数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为Tn=$\frac{1}{1}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}$≤1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$，再利用“裂项求和”即可证明．
解答 （1）解：∵对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，∴2Sn=${a}_{n}+{a}_{n}^{2}$，
∴当n≥时，$2{S}_{n-1}={a}_{n-1}+{a}_{n-1}^{2}$，相减可得：2an=${a}_{n}+{a}_{n}^{2}$-$（{a}_{n-1}+{a}_{n-1}^{2}）$，
化为（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵数列{an}的各项均为正数，∴an-an-1-1=0，
当n=1时，$2{a}_{1}={a}_{1}+{a}_{1}^{2}$，a1＞0，解得a1=1．
∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．
∴an=1+（n-1）=n．
（2）证明：bn=a1•a2•a3•…•an=n!．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为Tn=$\frac{1}{1}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}$≤1+$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$=1+$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点到右准线的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．| A． | 若m∥α，α∥β，则m∥β | B． | 若α⊥β，m⊥α，则m⊥β | C． | 若m∥α，α⊥β，则m⊥β | D． | 若m⊥α，α∥β，则m⊥β |
| A． | am-an＜$\frac{1}{{2}^{n}}$ | B． | am-an＞$\frac{1}{{2}^{n}}$ | C． | am-an＜$\frac{1}{{2}^{m}}$ | D． | am-an＞$\frac{m-n}{2}$ |
| A． | $f（x）=\sqrt{{{（x-1）}^2}}$；g（x）=x-1 | B． | $f（x）=\frac{{{x^2}-1}}{x-1}$；g（x）=x+1 | ||
| C． | f（x）=lg（x+1）+lg（x-1）；g（x）=lg（x2-1） | D． | f（x）=ex+1．ex-1；g（x）=e2x |
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是1个，它的表面积是21．