Question

当a=

2

π

∫

2 0

4-x2

dx时，二项式(x2-

a

x

)6展开式中的x³的系数为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：利用定积分求出a，然后利用二项式定理求解展开式中的x³的系数．

解答： 解：a=

2

π

∫

2 0

4-x2

dx，

∫

2 0

4-x2

dx的几何意义是以原点为圆心半径为2的

1

4

的圆的面积，
∴a=

2

π

×

1

4

π×22=2．
二项式(x2-

a

x

)6=(x2-

2

x

)6，展开式的通项公式为：

C

r 6

x12-2r•(-2)r•x-r=

C

r 6

x12-3r•(-2)r，
令12-3r=3，则r=3．
二项式(x2-

a

x

)6展开式中的x³的系数为：

C

3 6

(-2)3=-160．
故答案为：-160．

点评：本题考查二项式定理与微积分基本定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查理解与运算的能力，属于中档题．