Question

已知公比不为1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

3n-1•an

n(n+1)

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设出等比数列{a_n}的公比为q，若q为1，由首项a₁，利用等比数列的求和公式分别表示出S₁，2S₂，3S₃，得到S₁，2S₂，3S₃不成等差数列，矛盾，故q不为1，利用等比数列的求和公式分别表示出S₁，2S₂，3S₃，根据S₁，2S₂，3S₃成等差数列，利用等差数列的性质列出关于q的方程，求出方程的解得到q的值，首项a₁及q的值，利用等比数列的通项公式即可得到数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法，求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
若q=1，则S₁=a₁=1，2S₂=4a₁=4，3S₃=9a₁=9，故S₁+3S₃=10≠2×2S₂，与已知矛盾，故q≠1，
由S₁，2S₂，3S₃成等差数列，得S₁+3S₃=2×2S₂，
即1+3×

1-q3

1-q

=4×

1-q2

1-q

，
解得：q=

1

3

，
则a_n=a₁•q^n-1=（

1

3

）^n-1；
（Ⅱ）b_n=

3n-1•an

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：此题考查了等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，等比数列的通项公式，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．