题目内容

如图，设ABC－A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a，AC＝BC＝a．

(1)求证：AF⊥A1C

(2)求二面角C－AF－B的大小

答案：
解析：

　　解(1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB

　　又∵ABC－A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB

　　连结EF，由于AB＝2AA1

　　∴AA1FE为正方形

　　∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C

　　(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1

　　∴∠COE即为二面角C－AF－B的平面角

　　∵AB＝2AA1＝2a，AC＝BC＝a

　　∴CE＝a，OE＝a，∴tan∠COE＝＝2．

　　∴二面角C－AF－B的大小是arctan2．

　　分析：本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识．


练习册系列答案
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精英家教网如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B沿棱柱侧面经过棱C C1到点A1的最短路线长为2
5
，设这条最短路线与CC1的交点为D．
（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（2）在平面A1BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？证明你的判断；
（3）证明：平面A1BD⊥平面A1ABB1．
精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AA1⊥BC，A1A2⊥AB，A2A3⊥BC，A3A4⊥AB，A4A5⊥BC，A5A6⊥AB，A6A7⊥BC，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7分别为垂足：
（1）△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7的周长和面积是否分别成等比数列？试给出证明．
（2）若AB=4，BC=5，分别求出（1）题中4个三角形的周长和△A1A2A3的面积．
（3）如果把题设中的作法一直进行下去，并把所得类同于（1）题中的4个三角形的所有三角形的面积从大到小排成一个数列{Sn}，设AB=c，AC=b，求{Sn}的通项公式和△A11A12A13的面积．
如图在 正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，底面边长为
2

（1）设侧棱长为1，求证A B1⊥B C1；
（2）设A B1与B C1成600角，求侧棱长．
（理科）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=2，CC1＞AC，∠ACB=90°，异面直线AC1与BA1所成角的大小为arccos
30
10
．
（1）求三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（2）设D为线段A1B1的中点，求二面角A-C1D-A1的大小．（结果用反三角函数表示）
在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF、△CFP分别沿EF、PF折起到△A1EF和△C1FP的位置，使二面角A1-EF-B和C1-PF-B均成直二面角，连结A1B、A1P、EC1（如图2）
（1）求证：A1E⊥平面BEP；
（2）设正△ABC的边长为3，以
EB
，
EF
，
EA
为正交基底，建立空间直角坐标系．
①求点C1的坐标；
②直线EC1与平面C1PF所成角的大小；
③求二面角B-A1P-F的余弦值．
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