题目内容

精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AA1⊥BC，A1A2⊥AB，A2A3⊥BC，A3A4⊥AB，A4A5⊥BC，A5A6⊥AB，A6A7⊥BC，A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7分别为垂足：
（1）△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7的周长和面积是否分别成等比数列？试给出证明．
（2）若AB=4，BC=5，分别求出（1）题中4个三角形的周长和△A1A2A3的面积．
（3）如果把题设中的作法一直进行下去，并把所得类同于（1）题中的4个三角形的所有三角形的面积从大到小排成一个数列{Sn}，设AB=c，AC=b，求{Sn}的通项公式和△A11A12A13的面积．
分析：（1）要证明）△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7的周长和面积是否分别成等比数列，可以先证明它们依次两两为相似三角形，且相似比相等．（2）根据（1）的结论，结合勾股定理和射影定理依次求解；（3）根据（1）的结论，可求出数列的通项公式，再由通项公式，进行解答．
解答：解：（1）设AB=c，AC=b，BC=a
由射影定理易得：AA1=
bc
a

故：
AA1
AC
=
c
a

同理可证明：
A1A2
AA1
=
c
a

依此类推下去，我们可以得到：
AA1
AC
=
A1A2
AA1
=
A2A3
A1A2
=…=
AnAn+1
An-1An
=
c
a

则△CAA1∽△A1A2A3，△A1A2A3∽△A3A4A5，△A3A4A5∽△A5A6A7，…且相似比均为
c
a

根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，我们可得：
①△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的周长成公比为
c
a
的等比数列；
②△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的面积成公比为(
c
a
)2的等比数列．
（2）若AB=4，BC=5，则AC=3，则△ABC的周长为12，面积为6
此时，△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的周长成公比为
4
5
的等比数列；
则：△CAA1的周长为
48
5
，△A1A2A3的周长为
192
25
，△A3A4A5的周长为
768
125
，△A5A6A7的周长为
3072
625

又∵△CAA1，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…的面积成公比为
16
25
的等比数列
则：△CAA1的面积为
96
25

（3）AB=c，AC=b，则S1=S△CAA1=
1
2
bc，公比q=
c
b2+c2

则：Sn=
1
2
bc（
c
b2+c2
）n-1
当n=12时，S12=S△A11A12A13=
1
2
bc（
c
b2+c2
）11
点评：本题主要考查的知识点是相似的性质及数列的应用，根据相似三角形中，对应线长度之比等于相似比，对应面积之比等于相似比的平方，是解决本题的核心知识点．
练习册系列答案
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精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2
3
，则AC的长为（　　）
A、2
2
B、3
C、
3
D、
3
2
3
精英家教网如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E．
（1）求证：点E是边BC的中点；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直径AC的长度．
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于点P．
（1）若AE=CD，点M为BC的中点，求证：直线MP∥平面EAB
（2）若AE=2，CD=1，求锐二面角E-BC-A的平面角的余弦值．
8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
．DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设
DM
DN
=λ，试确定实数λ的取值范围．
精英家教网如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（　　）
A、（0，
3
]
B、（
2
2
，2]
C、（
3
，2
3
]
D、（2，4]

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