Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-m•cos²x的最大值为$\frac{3}{2}$．
（1）求实数m的值和函数f（x）的最小正周期；
（2）锐角△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c满足f（A）=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，且∠B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{6}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{\frac{3+{m}^{2}}{4}}$sin（2x-φ）-$\frac{m}{2}$，其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}m}{3}$，由$\sqrt{\frac{3+{m}^{2}}{4}}$-$\frac{m}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得m的值，利用周期公式即可得解；
（2）由f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，解得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A的范围可求A的值，由正弦定理可得a的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-m•cos²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{m}{2}（1+cos2x）$
=$\sqrt{\frac{3+{m}^{2}}{4}}$sin（2x-φ）-$\frac{m}{2}$，其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}m}{3}$，
∴$\sqrt{\frac{3+{m}^{2}}{4}}$-$\frac{m}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得m=-1，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，解得：sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0$＜A＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{6}$＜2A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，解得A=$\frac{π}{12}$或$\frac{π}{4}$，
∵∠B=$\frac{π}{3}$，b=$\sqrt{6}$，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=2或$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，考查了正弦定理的应用，属于基本知识的考查．