Question

2．x，y∈R，f（xy）=f（x）f（y），其定义域、值域都为正，x＞1时，f（x）＞1，求其单调性．

Answer 1

分析 设x₁＞x₂＞0，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，利用x＞1时，f（x）＞1，f（xy）=f（x）f（y），可得f（x₁）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞f（x₂），即可得出结论．

解答 解：设x₁＞x₂＞0，则$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
∵x＞1时，f（x）＞1，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1时，f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞1，
∴f（x₁）=f（x₂•$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞f（x₂），
∴函数在R上是单调增函数．

点评 本题考查函数的单调性的判断与证明，考查抽象函数，正确运用定义是关键．