题目内容

17．“抢红包”的网络游戏有多种玩法，小明在十八岁生日举行成人礼时参加一种接龙红包游戏；小明在红包里装了9元现金，然后发给好友甲，并给出金额所在区间[1，9]，让甲猜（所猜金额为整数元；下同），如果甲猜中，甲将获得红包里的金额；如果甲未猜中，甲和当前的红包转给好友乙，同时给出金额所在区间[6，9]，让乙猜，如果乙猜同，甲和乙可以平分红包里的金额；如果乙未猜中，乙要将当前的红包转发给好友丙，同时给出金额所在区间[8，9]，让丙猜，如果丙猜中，甲、乙和丙可以平分红包里的金额，如果丙未猜中，红包里的资金将退回小明的帐户．
（1）求丙得到的0元的概率；
（2）从概率统计的角度而言，甲所获得的金额是否超过乙和丙两人所获得的金额之和？说明理由．

分析 （1）由题意，分三种情况求丙得到0元的概率；
（2）分别求出甲乙丙对应的分布列，求出获得金额的数学期望，进行比较即可．

解答 解：（1）丙得到的0元为事件M，则P（M）=$\frac{1}{9}+\frac{8}{9}×\frac{1}{4}+\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{2}{3}$；
（2）设甲获得金额为X，则
X=0，3，4.5，9，P（X=3）=$\frac{1}{3}$，P（X=0）=$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$，P（X=4.5）=$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}=\frac{2}{9}$，P（X=9）=$\frac{1}{9}$，
X的分布列

X034.59
P$\frac{1}{3}$$\frac{1}{3}$$\frac{2}{9}$$\frac{1}{9}$
E（X）=0×$\frac{1}{3}$+3×$\frac{1}{3}$+4.5×$\frac{2}{9}$+9×$\frac{1}{9}$=3；
设乙获得的金额为Y元，则Y的取值为0，3，4.5
P（Y=0）=$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{4}{9}$，P（Y=3）=$\frac{8}{9}$×$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
P（Y=4.5）=$\frac{8}{9}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{2}{9}$；
Y的分布列
 Y 0 3 4.5
 P $\frac{4}{9}$ $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{9}$
E（Y）=0×$\frac{4}{9}$+3×$\frac{1}{3}$+4.5×$\frac{2}{9}$=2；
设丙获得的金额为Z元，则Z的取值为0，3．
P（Z=0）=$\frac{1}{9}$+$\frac{8}{9}×\frac{1}{4}$+$\frac{8}{9}×\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$，P（Z=3）=$\frac{8}{9}$×$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
Z的分布列
 Z 0 3
 P $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{3}$
E（Z）=0×$\frac{2}{3}$+3×$\frac{1}{3}$=1，
∴E（X）=E（Y）+E（Z），
∴从统计学的角度而言，A所获得的金额不超过B和C两人所获得的金额之和．

点评 本题主要考查概率知识的运用，考查分布列与期望，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．

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