Question

7．已知y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1
（1）求最小正周期；
（2）求函数的最大值及此时x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为一个角的三角函数的形式，由周期公式即可得解．
（2）根据正弦函数的图象和性质即可求出函数的最大值，以及x的值．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1
=$\frac{1+cos2x}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+1
=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{5}{4}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x∈{x|x=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z}时，函数的最大值为：f（x）_max=$\frac{1}{2}+\frac{5}{4}$=$\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，牢记三角函数的公式，在解题时才能灵活应用，属于基础题．