题目内容
2．
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为体对角线的中点．若△PAC的正视图的最高点与侧视图的每一个顶点相连所得的几何体的体积为V1，正方体外接球的体积为V2，则$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值为（ ）| A． | $\frac{1}{4π}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{4π}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{36π}$ | D． | $\frac{\sqrt{6}}{36π}$ |
分析 如图所示，△PAC的正视图的最高点P1为正方形CDD1C1的中心．与侧视图的每一个顶点相连所得的几何体为三棱锥P1-P2BC，其中点P2为正方形BCC1B1的中心．体积V1=$\frac{1}{3}{S}_{△{P}_{1}BC}$$•\frac{1}{2}a$．正方体外接球的直径为正方体的对角线，长度为$\sqrt{3}$a，体积为V2=$\frac{4}{3}π（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{3}$．即可得出．
解答 
解：如图所示，△PAC的正视图的最高点P1为正方形CDD1C1的中心．
与侧视图的每一个顶点相连所得的几何体为三棱锥P1-P2BC，其中点P2为正方形BCC1B1的中心．
体积V1=$\frac{1}{3}{S}_{△{P}_{1}BC}$$•\frac{1}{2}a$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}a•a×\frac{1}{2}a$=$\frac{1}{24}{a}^{3}$
正方体外接球的直径为正方体的对角线，长度为$\sqrt{3}$a，体积为V2=$\frac{4}{3}π（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}π{a}^{3}}{2}$．
则$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{24}{a}^{3}}{\frac{\sqrt{3}π{a}^{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{36π}$．
故选：C．
点评 本题考查了三视图的有关知识、三棱锥的体积、正方体的性质、球的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
名校课堂系列答案
相关题目
6．比值$\frac{l}{r}$（l是圆心角α所对的弧长，r是该圆的半径）（ ）
| A． | 既与α的大小有关，又与r的大小有关 | |
| B． | 与α及r的大小都无关 | |
| C． | 与α的大小有关，而与r的大小无关 | |
| D． | 与α的大小无关，而与r的大小有关 |
10．若三角形ABC所在平面内一点M满足条件$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，则S△MAC：S△MAB等于（ ）
| A． | $\frac{1}{3}$ | B． | $\frac{2}{3}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
11．已知集合A={1，a，a-1}，若-2∈A，则实数a的值为（ ）
| A． | -2 | B． | -1 | C． | -1或-2 | D． | -2或-3 |