Question

14．底面边长为2，侧棱长为$\sqrt{3}$的正四棱锥的体积为$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 作出棱锥的高，则顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算．

解答 解：取底面中心O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SO，AO，
∵四棱锥S-ABCD为正四棱锥，
∴SO⊥平面ABCD，∵AO?平面ABCD，
∴SO⊥AO．
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1，∠OAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∴OE=AE=1，
∵OE²+AE²=AO²，
∴AO=$\sqrt{2}$，∵SA=$\sqrt{3}$，
∴SO=$\sqrt{S{A}^{2}-A{O}^{2}}$=1．
V=$\frac{1}{3}$•S_ABCD•SO=$\frac{1}{3}$•2²•1=$\frac{4}{3}$．
故答案为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于基础题．