Question

10．若三角形ABC所在平面内一点M满足条件$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，则S_△MAC：S_△MAB等于（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 可作图，作向量$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，从而$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CE}$，可设B到边AC的距离为d₁，M到AC的距离为d₂，d₂也等于E到AC的距离，这样便可得出$\frac{{S}_{△MAC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{6}$，而同理可以得出$\frac{{S}_{△MBC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{3}$，从而便可得出S_△MAC：S_△MAB的值．

解答 解：如图，

$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{6}\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，则$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CE}$；
令B到AC的距离为d₁，M到AC的距离为d₂，d₂也是E到AC的距离，则$\frac{{{S_{△MAC}}}}{{{S_{△ABC}}}}=\frac{d_2}{d_1}=\frac{1}{6}$；
同理$\frac{{{S_{△MBC}}}}{{{S_{△ABC}}}}=\frac{1}{3}$；
∴$\frac{{S}_{△MAB}}{{S}_{△ABC}}=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{{{S_{△MAC}}}}{{{S_{△MAB}}}}=\frac{1}{3}$．
故选A．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，相似三角形的比例关系，以及三角形的面积公式．