Question

【题目】已知a、b、c为的三边长，直线的方程为，圆．

（1）若为直角三角形，c为斜边长，且直线与圆M相切．求c的值；

（2）已知为坐标原点，点，，，，平行于ON的直线h与圆M相交于R，两点，且，求直线h的方程：

（3）若为正三角形，对于直线上任意一点P，在圆上总存在一点，使得线段的长度为整数，求c的取值范围；

Answer 1

【答案】（1） （2）或 （3）.

【解析】

（1）为直角三角形，为斜边长，则，又直线与圆相切，根据点到直线的距离公式，得到关于的方程，求出即可．

（2）由直线平行于计算出斜率，设直线h的方程为，利用点到线的距离公式求距离，勾股定理得到方程，即可求出参数。

（3）此时圆为以为圆心，以为半径的圆，直线可化为，直线上任意一点，在圆上总存在一点，使得线段的长度为整数，设圆心到直线的距离为，只需能用整数表示，并且圆的直径即可．

解：（1）由题意得，

圆心到直线的距离，

或0（舍）

综上：.

（2）圆M的标准方程为，

所以圆心，半径为5．

因为直线，所以直线h的斜率为．

设直线h的方程为，即，

则圆心M到直线h的距离．

因为

而，所以，

解得或．

故直线h的方程为或．

（3）为正三角形，

，直线，

，对于这条直线，总存在无穷多点在圆外，

从中找一个到圆心距离为的点P，则点P到图上任意点的距离，

，时不存在整数，

；下面分类讨论：

（Ⅰ）直线与圆相切或相离，即；即；

此时，所以可以取到整数．

（Ⅱ）线与圆相交，即，直线上不在圆内的点P，同理成立；

对于直线上在圆内部分的任意点P，，

,

所以使得存在整数的条件是对任意点P都成立，

，，

所以，

综上.