Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围.

（1）因为椭圆的离心率为，所以

又椭圆的左焦点到左准线的距离为

所以

所以，，

所以椭圆的方程为

（2）因为原点与直线的距离为

所以，即

设直线

由得

因为直线与椭圆相切

所以

整理得

因为直线与直线之间的距离

所以，

所以

又

因为，所以

又位于直线的两侧，所以同号，所以

所以

故实数的取值范围为