Question

19．若实数x，y满足x²+y²=4，则$\frac{xy}{x+y+4}$的取值范围是$[2\sqrt{3}\;-4，\;\;1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．

Answer 1

分析 实数x，y满足x²+y²=4，可设x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π）．则$\frac{xy}{x+y+4}$=$\frac{2sinθcosθ}{sinθ+cosθ+2}$，令cosθ+sinθ=t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．可得2sinθcosθ=t²-1，$\frac{xy}{x+y+4}$=t-2+$\frac{3}{t+2}$=f（t）．t∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：∵实数x，y满足x²+y²=4，
∴可设x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π）．
∴$\frac{xy}{x+y+4}$=$\frac{4sinθcosθ}{2sinθ+2cosθ+4}$=$\frac{2sinθcosθ}{sinθ+cosθ+2}$，
令cosθ+sinθ=t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
∴1+2sinθcosθ=t²，∴2sinθcosθ=t²-1，
∴$\frac{xy}{x+y+4}$=$\frac{{t}^{2}-1}{t+2}$=t-2+$\frac{3}{t+2}$=f（t）．t∈$[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$．
f′（t）=1-$\frac{3}{（t+2）^{2}}$=$\frac{（t+2+\sqrt{3}）（t+2-\sqrt{3}）}{（t+2）^{2}}$，
当$t∈[-\sqrt{2}，\sqrt{3}-2）$时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减；当t∈$（\sqrt{3}-2，\sqrt{2}]$时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增．
∴当t=$\sqrt{3}-2$时，函数f（t）取得最小值，$f（\sqrt{3}-2）$=$2\sqrt{3}$-4．
又$f（-\sqrt{2}）$=$\frac{2-1}{-\sqrt{2}+2}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$f（\sqrt{2}）$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}+2}$=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$f（-\sqrt{2}）$＞$f（\sqrt{2}）$，
∴f（t）的最大值为：$1+\frac{\sqrt{2}}{2}$．
综上可得：$\frac{xy}{x+y+4}$的取值范围是$[2\sqrt{3}-4，1+\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．