Question

16．函数f（x）=|x-1|+|x+m|（m＞0）．
（1）若m=2，求f（x）≤3的解集；
（2）若f（x）≤3对任意x∈[-2，-m]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）m=2时得到，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-2x-1}&{x＜-2}\\{3}&{-2≤x≤1}\\{2x+1}&{x＞1}\end{array}\right.$，求出每段上函数f（x）的范围，这样便能得出f（x）≤3的解；
（2）先根据x的范围，可去绝对值号得到f（x）=-2x+1-m，从而看出该函数在[-2，-m]上单调递减，从而f（-2）=5-m是f（x）的最大值，这样根据条件即可得到5-m≤3，这样便可得出m的取值范围．

解答 解：（1）m=2时，f（x）=|x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1}&{x＜-2}\\{3}&{-2≤x≤1}\\{2x+1}&{x＞1}\end{array}\right.$；
∴①x＜-2时，f（x）=-2x-1＞f（-2）=3；
②-2≤x≤1时，f（x）=3；
③x＞1时，f（x）=2x+1＞3；
∴f（x）≤3的解集为[-2，1]；
（2）x∈[-2，-m]；
∴f（x）=-2x+1-m，该函数在[-2，-m]上单调递减；
∴f（x）≤f（-2）=5-m；
∵f（x）≤3对于任意x∈[-2，-m]恒成立；
∴5-m≤3；
∴m≥2；
∴m的取值范围为[2，+∞）．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数值域的求法，以及一次函数的单调性，根据单调性求函数最值．