Question

8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形．
（1）求证：BC⊥平面ACFE；
（2）若AD=AE，求平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACFE．
（2）设AC与BD交点为O，连结FO，过C作CG⊥FO，G为垂足，连结BG，则∠BGC为所求二面角的平面角，则平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值．

解答 证明：（1）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，       
∴四边形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120
∴∠ACB=90，∴AC⊥BC
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，
∴BC⊥平面ACFE．
解：（2）设AC与BD交点为O，连结FO，
过C作CG⊥FO，G为垂足，连结BG，
由（1）得BC⊥平面ACEF，则∠BGC为所求二面角的平面角，
在Rt△ABC中，BC=a，∠ABC=60°，则AB=2a，AC=$\sqrt{3}a$，
∵AB∥DC，CD=a，∴$\frac{CD}{AB}=\frac{CO}{AO}=\frac{1}{2}$，则AO=2CO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∵AE=CF=a，∴FO=$\frac{2}{\sqrt{3}}a$，则CG=$\frac{CF•CO}{FO}$=$\frac{a}{2}$，
∴tan∠BGC=$\frac{BC}{CG}$=2，∴sin∠BGC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面BDF与平面ACFE所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．